Question

11．如图，在四棱锥S-ABDC中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$，E为SC的中点．
（1）证明：DE∥平面SAB：
（2）求直线SB与平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面SAB．
（2）求出平面SCD的法向量，利用向量法能求出直线SB与平面SCD所成角的正弦值．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得D（0，$\frac{1}{2}$，0），S（0，0，1），C（1，1，0），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
平面SAB的法向量$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DE}$=0，
∵DE?平面SAB，∴DE∥平面SAB．
解：（2）B（1，0，0），$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{SC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），
设直线SB与平面SCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线SB与平面SCD所成角的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．