Question

我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=-

1

100

（x-60）2+41（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-

99

100

（100-x）2+

294

5

（100-x）+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1），（2），该方案是否具有实施价值？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，每年可获得利润P=-

1

100

（x-60）²+41，从而求最大值；
（2）分前两年与后三年分别计算，从而得到最大利润总和；
（3）比较所获得的利润即可．

解答： 解：（1）若不进行开发，
每年可获得利润P=-

1

100

（x-60）²+41，
故当x=60时有最大值为41；
故5年所获利润的最大值为41×5=205万元；
（2）若按规划实施，前两年的利润最大值为
P=2[-

1

100

（50-60）²+41]-100=-20；
后三年中，设投资本地为x万元，则设资外地为100-x万元；
故每年的利润为P+Q=-

1

100

（x-60）²+41-

99

100

x²+

294

5

x+160
=-x²+60x+165=-（x-30）²+1065；
故当x=30时有最大值为1065万元；
故三年总利润为3×1065=3195万元；
故5年所获利润（扣除修路后）的最大值是3195-20=3175万元；
（3）由（1），（2）知，该方案具有实施价值．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．