Question

20．若偶函数f（x）满足f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x-1+ln3-ln（2x+1），0＜x≤\frac{1}{2}}\\{\frac{（x+1）（x+2）（x+3）ln（2x-1）}{3x+5}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}}$则曲线y=f（x）在点（-1，0）处的切线方程为（　　）

• A． 6x-y+6=0
• B． x-3y+1=0
• C． 6x+y+6=0
• D． x+3y+1=0

Answer 1

分析 求出当x＜-$\frac{1}{2}$时，运用偶函数的定义，可得解析式，求出导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得所求切线的方程．

解答 解：当x＜-$\frac{1}{2}$时，-x＞$\frac{1}{2}$时，
偶函数f（x）满足f（x）=f（-x）=$\frac{（-x+1）（-x+2）（-x+3）ln（-2x-1）}{-3x+5}$
=$\frac{（{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6）ln（-2x-1）}{3x-5}$，
当x＜-$\frac{1}{2}$时f′（x）=$\frac{[（3{x}^{2}-12x+11）ln（-2x-1）+（{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6）•\frac{-2}{-2x-1}]•（3x-5）-3（{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6）•ln（-2x-1）}{（3x-5）^{2}}$
可得曲线y=f（x）在点（-1，0）处的切线斜率为f′（-1）=$\frac{（0+48）×（-8）-0}{64}$=-6．
则曲线y=f（x）在点（-1，0）处的切线方程为y-0=-6（x+1），
即有6x+y+6=0．
故选：C．

点评 本题考查函数的性质，主要是偶函数的性质的运用：求解析式，考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．