Question

10．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等差数列，且$C-A=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若$b=\sqrt{13}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据sinA、sinB、sinC成等差数列，以及三角形的内角和即可求出sin$\frac{B}{2}$，再利用倍角公式即可求出，
（Ⅱ）根据余弦定理得到a，b，c的关系，再由正弦定理可得a，c的关系，即可求出ac，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且$C-A=\frac{π}{3}$．
∴由A+B+C=π，可得$\left\{\begin{array}{l}A=\frac{π}{3}-\frac{B}{2}\\ C=\frac{2π}{3}-\frac{B}{2}\end{array}\right.$（*），
∵sinA、sinB、sinC的值成等差数列，
∴sinA+sinC=2sinB
将（*）代入上式，化简得$sin\frac{B}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
∴$cosB=1-2{sin^2}\frac{B}{2}$=$\frac{5}{8}$．
（Ⅱ）∵$b=\sqrt{13}$，$cosB=\frac{5}{8}$
由余弦定理，得b²=13=a²+c²$-\frac{5}{4}ac={（{a+c}）^2}$$-\frac{13}{4}ac$
又∵sinA、sinB、sinC的值成等差数列，
由正弦定理，得$a+c=2b=2\sqrt{13}$，
∴$13=52-\frac{13}{4}ac$，解得ac=12．
由$cosB=\frac{5}{8}$，得$sinB=\frac{{\sqrt{39}}}{8}$，
∴△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×12×\frac{{\sqrt{39}}}{8}=\frac{{3\sqrt{39}}}{4}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．