Question

已知函数f（x）=x³+1，关于这个函数给出以下四个命题
①函数f（x）是奇函数；
②x=0是函数f（x）的极值点；
③y=1是曲线y=f（x）的一条切线；
④存在a，b∈R，使得x∈[a，b]时，f（x）∈[a+1，b+1]
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由奇偶性的定义，即可判断①；求出导数，令它为0，检验是否极值点，即可判断②；
令f′（x）=0，得x=0，则切点为（0，1），求得切线，即可判断③；由单调性，假设存在，由f（a）=a+1，f（b）=b+1．求得a，b，即可判断④．

解答： 解：①f（-x）=-x³+1≠-f（x），故函数f（x）不是奇函数，故①错；
②f′（x）=3x²，在x=0处附近导数均大于0，故x=0不是函数f（x）的极值点，故②错；
③令f′（x）=0，得x=0，则切点为（0，1），切线为y=1．故③正确；
④由于f′（x）≥0，则f（x）在R上递增，如果存在a，b∈R，使得x∈[a，b]时，f（x）∈[a+1，b+1]，
则f（a）=a+1，f（b）=b+1．则a=0，b=1或a=-1，b=1或b=0．故④正确．
故选B．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性以及极值、切线问题，属于基础题．