Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1
（1）确定b，c的值；
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）利用曲线f（x）在x=0处的切线方程y=1，列出方程解出b、c；
（2）构建函数，利用导数求出函数的极大值和极小值，令其极大值大于0，其极小值小于0即可解决．

解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=x²-ax+b，
∵曲线f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c在x=0处的切线方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1，
∴b=0，c=1；
（2）由题意f′（x）=x²-ax．
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，则2-f（t）=f'（t）（-t），即有

2

3

t³-

1

2

at²+1=0
设g（t）=

2

3

t³-

1

2

at²+1，g′（t）=2t²-at，则过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，
等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，
即等价于方程

2

3

t³-

1

2

at²+1=0有三个相异的实根①若a＞0，则有

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，则g（0）=1＞0，且g（

a

2

）=-

a3

24

+1＜0，
②若a＜0，则g（

a

2

）＞0且g（0）＜0，无解．
∴a＞2

3	3

．

点评：本题考查导数的综合运用以及数形结合的运用能力，对学生有一定的能力要求，有一定的难度