Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．求证：
（Ⅰ）EF∥平面PCD；
（Ⅱ）BD⊥平面PAC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先通过作辅助线利用中位线找到平行线，进一步利用线线平行转化成面面平行
（Ⅱ）通过线面垂直的性质定理转化成线线垂直，再利用线线垂直转化成线面垂直．

解答： 证明：（Ⅰ）连结BD，则E是BD的中点．
又F是PB的中点，
所以EF∥PD．
因为EF?平面PCD，PD?平面PCD
所以EF∥平面PCD
（Ⅱ）∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BD?面ABC
∴PA⊥BD．又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．

点评：本题考查的知识点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定和性质，属于基础题．