Question

20．将25个数排成五行五列：

已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等．若a₂₄=4，a₄₁=-2，a₄₃=10，则a₁₁×a₅₅的值为-11．

Answer 1

分析 根据题意设第一行等差数列的公差为d，设公比为q，由题意列出等式，构造方程组解得即可．

解答 解：设第一行等差数列的公差为d，
则a₁₃=a₁₁+2d，a₁₄=a₁₁+3d，a₁₅=a₁₁+4d
又每一列成等比，五个公比全相等，设为q，而a₂₄=4，a₄₁=-2，a₄₃=10，
则a₄₁=a₁₁×q³=-2；---（1）
a₂₄=a₁₄×q=（a₁₁+3d）×q=4；---（2）
a₄₃=a₁₃×q3=（a₁₁+2d）×q³=10；---（3）
a₅₅=a₁₅×q⁴=（a₁₁+4d）×q⁴．--（4）
由（1）、（3）得-5a₁₁=a₁₁+2d，即d=-3a₁₁，代入（2）得-8a₁₁q=4，---（5）
（1）、（5）得q=2，a₁₁=-$\frac{1}{4}$，d=$\frac{3}{4}$或q=-2，a₁₁=$\frac{1}{4}$，d=$\frac{3}{4}$．
所以a₁₁×a₅₅=a₁₁×（a₁₁+4d）×q⁴=-11，
故答案为：-11．

点评 本题主要考查了等差等比数列的通项公式的运用，关键是求出公差和公比，考查推理能力和运算能力，属于中档题．