Question

13．已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得．

解答 解：若p真，则f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，
∴0＜2a-6＜1，
∴3＜a＜$\frac{7}{2}$．
若q真，令f（x）=x²-3ax+2a²+1，则应满足：
$\left\{\begin{array}{l}{△{=（-3a）}^{2}-4（{2a}^{2}+1）≥0}\\{-\frac{-3a}{2}＞3}\\{f（3）=9-9a+{2a}^{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-2}\\{a＞2}\\{a＜2或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴a＞$\frac{5}{2}$，
又由题意应有p真q假或p假q真．
①若p真q假，则 $\left\{\begin{array}{l}{3＜a＜\frac{7}{2}}\\{a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，a无解．
②若p假q真，则 $\left\{\begin{array}{l}{a≤3或a≥\frac{7}{2}}\\{a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴由2a-6＞0且2a-6≠1，可得a＞$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．