Question

5．设a为实数，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x＞a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}，x≤a}\end{array}\right.$，g（x）=ax|x-a|．
（1）若x≤a时，方程f（x）=g（x）无解，求a的范围；
（2）设函数F（x）=f（x）-g（x）．
①若h（x）=F′（x），写出函数h（x）的最小值；
②当x＞a时，求函数H（x）=F（x）-x的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{3}$x³=ax|x-a|，解方程可得a的范围；
（2）①求出h（x），配方，讨论a的符号，即可得到所求最小值；
②当x＞a时，求出H（x）的导数，以及二次函数的判别式，对△≤0，求出增区间；△＞0，求出两根，讨论x₁，a，x₂的大小，结合二次不等式的解法，即可得到所求增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=g（x）且x≤a，
∴$\frac{1}{3}$x³=ax|x-a|，
∴x=0或$\frac{1}{3}$x²=a|x-a|，
由于方程f（x）=g（x）在x≤a无解，
∴a＜0；                      
（2）①∵函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}+{a}^{2}x，x＞a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}+a{x}^{2}-{a}^{2}x，x≤a}\end{array}\right.$，
∴可求得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2ax+{a}^{2}，x＞a}\\{{x}^{2}+2ax-{a}^{2}，x≤a}\end{array}\right.$，
即为h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{1}{3}a）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}，x＞a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}，x≤a}\end{array}\right.$，
当a≥0时，h（x）_min=-2a²；当a＜0时，h（x）_min=-$\frac{2}{3}$a²；
②当x＞a时，H（x）=F（x）-x=x³-ax²+（a²-1）x，
所以H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）（x＞a），
先求△=4a²-12（a²-1）=4（3-2a²），分类讨论如下：
（1）当△≤0，即a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a时恒成立，
所以函数H（x）的单调增区间为（a，+∞）；
（2）当△＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，
方程3x²-2ax+（a²-1）=0在R上有两个不相等的实数根x₁=$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，
显然x₁＜x₂；我们注意到x＞a，因此我们有必要对x₁，a，x₂的大小进行比较．
此时可作如下的分类讨论：
第一种情况：当a＜x₁即a＜$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$时，
在（2）的大前提下，可解得：-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a时的解集为（a，x₁]∪[x₂，+∞），
所以函数H（x）的增区间为（a，$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$]与[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
第二种情况：当x₁≤a＜x₂即$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$≤a＜$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$时，
在（2）的大前提下，可解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a时的解集为[x₂，+∞），
所以函数H（x）的增区间为[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
第三种情况：当a≥x₂即a≥$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$时，在（2）的大前提下，
可解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此时H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a时的解集为[a，+∞），
所以函数H（x）的增区间为[a，+∞）．
综上所述：
当a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数H（x）的增区间为（a，+∞）；
当-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时时，函数H（x）的增区间为（a，$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$]与[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
当-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数H（x）的增区间为[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用，考查分类讨论思想方法，考查函数的单调性和最值的求法，以及运算求解能力，属于难题．