Question

11．设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]都有y∈[a，a³]满足方程log_ax+log_ay=c，则a的取值组成的集合为{3}．

Answer 1

分析 由已知得y=$\frac{{a}^{c}}{x}$，单调递减，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{c}-1}{3}≥a}\\{{a}^{c-1}≤{a}^{3}}\end{array}\right.$，由此能求出a的取值的集合．

解答 解：∵log_ax+log_ay=c，
∴log_a（xy）=c，∴xy=a^c，
解得y=$\frac{{a}^{c}}{x}$，单调递减，
∴当x∈[a，3a]时，y∈[$\frac{{a}^{c}-1}{3}$，a^c-1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{c}-1}{3}≥a}\\{{a}^{c-1}≤{a}^{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c≥3+lo{g}_{a}3}\\{c≤4}\end{array}\right.$，
∵有且只有一个常数c符合题意，∴3+log_a3=4，
解得a=3，∴a的取值的集合为{3}．
故答案为：{3}．

点评 本题考查实数的取值集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．