Question

9．已知函数f（x）=e^x-ax-1，其中a为实数．
（1）若a=1，求函数f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；
（3）设a_k，b_k（k=1，2…，n）均为正数，且a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，求证：a₁${\;}^{{b}_{1}}$a₂${\;}^{{b}_{2}}$…a_n${\;}^{{b}_{n}}$≤1．

Answer 1

分析 （1）求出f'（x）=e^x-1，由f'（x）=0得x=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；
（2）先求出f'（x）=e^x-a（0＜x≤2），再讨论①当a≤1时，②当a≥e²时，③当1＜a＜e²时的情况，从而求出a的范围；
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，e^x＞x+1，得b_klna_k＜a_kb_k-b_k（k=1，2，…，n），求和得$\sum_{k=1}^{n}$ln ${a}_{k}^{{b}_{1}}$＜$\sum_{k=1}^{n}$a_kb_k-$\sum_{k=1}^{n}$b_k≤0．从而问题得证．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1，由f'（x）=0得x=0
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）内递增；
当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）内递减；
故函数f（x）在x=0处取得最小值f（1）=0．
（2）f'（x）=e^x-a（0＜x≤2）
①当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]内递增；
f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；
②当a≥e²时，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]内递减；
f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；
③当1＜a＜e²时，由f'（x）=0，得x=lna，
当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当lna＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增；
又f（0）=0，f（2）=e²-2a-1
由f（2）=e²-2a-1≥0得1＜a≤$\frac{{e}^{2}-1}{2}$，
故a的取值范围为（1，$\frac{{e}^{2}-1}{2}$]
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，e^x＞x+1，即ln（x+1）＜x．
∵a_k，b_k＞0，从而有lna_k＜a_k-1，
得b_klna_k＜a_kb_k-b_k（k=1，2，…，n），
求和得 $\sum_{k=1}^{n}$ln${{a}_{k}}^{{b}_{1}}$＜$\sum_{k=1}^{n}$a_kb_k-$\sum_{k=1}^{n}$b_k≤0，
ln（${{a}_{1}}^{{k}_{1}}$${{a}_{2}}^{{k}_{2}}$…${{a}_{n}}^{{k}_{n}}$）＜0，
故a₁${\;}^{{b}_{1}}$a₂${\;}^{{b}_{2}}$…a_n${\;}^{{b}_{n}}$≤1．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明，求参数的范围，是一道综合题．