Question

12．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DB=$\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中点．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）由三垂线定理得CD⊥PD，从而CD⊥面PAD，再由CD?面PCD，能证明面PAD⊥面PCD．
（2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角． 连接AE，推导出四边形ACBE为正方形，由此能求出AC与PB所成的角．
（3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，则∠ANB为所求二面角的平面角，由此能求出平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．

解答 证明：（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD． 
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD． 
解：（2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角． 
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=$\sqrt{2}$，
又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．
由PA⊥面ABCD，得∠PEB=90° 
在Rt△PEB中，BE=a²=3b²，PB=$\sqrt{5}$，
∴cos∠PBE=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴AC与PB所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，
由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=$\sqrt{C{M}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$•AC，
∴AN=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$．∴AB=2，
∴cos∠ANB=$\frac{A{N}^{2}+B{N}^{2}-A{B}^{2}}{2×AN×BN}$=-$\frac{2}{3}$，
故平面AMC与平面BMC所成二面角的大小为arccos（-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查面面垂直的证明，考百线线角的求法，考百二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．