Question

根据所给条件求直线l的方程．
（1）直线l经过圆x²+y²+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；
（2）直线l过点（-4，8），且到原点的距离为4．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由已知中圆的方程，我们先确定出圆的圆心的坐标，然后根据与已知直线垂直的直线的直线系方程，我们设出与直线2x+y=0垂直的直线方程（含参数λ），将圆心坐标代入可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-8=k（x+4），由

|8+4k|

k2+1

=4，解出k值，可得直线方程．

解答： 解：（1）由已知，圆的标准方程为x²+（y+l）²=1，圆心坐标为（0，-1）
设与直线2x+y=0垂直的直线方程是x-2y+λ=0
则2+λ=0，所以λ=-2
故经过圆x²+y²+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直的直线方程是x-2y-2=0；
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-4，满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-8=k（x+4），即kx-y-4k-8=0，
由条件得

|8+4k|

k2+1

=4，∴k=-

3

4

，故直线方程为3x+4y-20=0．
综上，直线l的方程为x=-4或3x+4y-20=0．

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，考查点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想．