Question

已知x∈[0，1]，函数f（x）=x²-ln（x+

1

2

），g（x）=x³-3a²x-4a．
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≤-1，若?x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x）=2x-

1

x+ 1 2

=

(x+1)(2x-1)

x+ 1 2

；从而由导数的正负确定函数的单调区间及值域；
（2）设g（x）在[0，1]上的值域为[b，c]，则有b≤

1

4

且c≥ln2；再求导g′（x）=3x²-3a²，从而确定函数的单调性，从而化为最值问题．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-

1

x+ 1 2

=

(x+1)(2x-1)

x+ 1 2

；
令f′（x）＜0解得，0≤x＜

1

2

；
故函数f（x）的单调减区间为[0，

1

2

]，
此时，

1

4

≤f（x）≤ln2；
令f′（x）＞0解得，

1

2

＜x≤1；
故函数f（x）的单调增区间[

1

2

，1]，
此时，

1

4

≤f（x）≤ln3-ln2；
故函数f（x）的值域为[

1

4

，ln2]．
（2）根据所给条件，设g（x）在[0，1]上的值域为[b，c]，
则有b≤

1

4

且c≥ln2；
g′（x）=3x²-3a²＜0，
g（x）在[0，1]上是单调减函数，
故g（0）=-4a≥ln2，
解得a≤-

ln2

4

；
g（1）=1-3a²-4a≤

1

4

，
解得a≤-

3

2

或a≥

1

6

；
故a≤-

3

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．