Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx+sinx），

b

=（

3

cosx，sinx-cosx），定义f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的取值集合；
（3）若函数y=2sin2x-1的图象向右平移m个单位（|m|＜

π

2

），向上平移n个单位后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意先求解析式f（x）=2sin（2x-

π

6

），从而可求函数f（x）的周期，单调递增区间；
（2）令2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合为{x/x=kπ+

π

3

（k∈Z）}；
（3）根据题意有y=2sin（2x-2m）-1+n=2sin（2x-

π

6

），即可解得：m=

π

12

，n=1．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=2sinx

3

cosx+sin²x-cos²x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），可解得kπ-

π

2

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴函数f（x）的周期是π，单调递增区间是[kπ-

π

2

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）令2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

3

（k∈Z）；
故函数f（x）的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合为{x/x=kπ+

π

3

（k∈Z）}；
（3）若函数y=2sin2x-1的图象向右平移m个单位（|m|＜

π

2

），得到的函数解析式为y=2sin（2x-2m）-1，向上平移n个单位后得到函数解析式为y=2sin（2x-2m）-1+n的图象．
∴y=2sin（2x-2m）-1+n=2sin（2x-

π

6

）
∴可解得：m=

π

12

，n=1．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．