Question

已知函数f（x）=

2

2

（cosx-sinx）sin（x+

π

4

）-2αsinx+b（a＞0）的最大值为1，最小值为-4，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=-（sinx+a）²+a²+b+

1

2

，再根据的最大值为1，最小值为-4，分类讨论求得a，b的值．

解答： 解：函数f（x）=

2

2

（cosx-sinx）sin（x+

π

4

）-2αsinx+b=）=

2

2

（cosx-sinx）•

2

2

（cosx+sinx）-2αsinx+b
=

1

2

（cos²x-sin²x）-2asinx+b=-sin²x-2asinx+b+

1

2

=-（sinx+a）²+a²+b+

1

2

，
当-a＜-1时，即a＞1时，由题意可得-（-1+a）²+a²+b+

1

2

=1，-（1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，求得a=

5

4

，b=-1．
当-a∈[-1，0），即 a∈（0，1]时，由题意可得-0+a²+b+

1

2

=1，-（1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，求得a=-1，b=-

11

2

．
当-a∈[0，1]，即 a∈[-1，0]时，由题意可得-0+a²+b+

1

2

=1，-（-1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，求得a、b无解．
当-a＞1时，即a＜-1时，由题意可得-（-1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，-（1+a）²+a²+b+

1

2

=1，求得a=-

5

4

，b=-1．
综上可得，a=

5

4

，b=-1；或 a=-1，b=-

11

2

；或 a=-

5

4

，b=-1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．