Question

（Ⅰ）已知抛物线y²=2px（p＞0），过点M（0，p）的直线l与抛物线交于A，B两点，且l与x轴交于点C，设

MA

=a

AC

，

MB

=β

BC

，试问α+β是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅱ）点P是抛物线C：y=

1

2

x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，若l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），设直线l：y=kx+p，联立

y=kx+p y2=2px

，得k²x²+（2kp-2p）x+p²=0，x_a+x_b=

2kp-2p

k2

，x_ax_b=

p2

k2

，由l与x轴交于点C，得C（-

p

k

，0），由

MA

=a

AC

，

MB

=β

BC

，得α=

-kxa

kxa+p

，β=

-kxb

kxb+p

，由此能求出α+β为定值-1．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依题意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，则

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．由此能求出

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），
∵M（0，p），∴设直线l：y=kx+p，
联立

y=kx+p y2=2px

，得k²x²+（2kp-2p）x+p²=0，
∴x_a+x_b=

2kp-2p

k2

，x_ax_b=

p2

k2

，
∵l与x轴交于点C，∴C（-

p

k

，0），
∵

MA

=a

AC

，

MB

=β

BC

，
∴

(xa，ya-p)=α(-xa- p k ，-ya) (xb，yb-p)=β(-xb- p k ，-yb)

，
∴α=

-kxa

kxa+p

，β=

-kxb

kxb+p

，
∴α+β=

-2k2xaxb-2k(xa+xb)

k2xaxb+2k(xa+xb)+p2

=-1．
∴α+β为定值-1．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依题意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x2，得y'=x．
设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b）．
分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′，
则

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．
由y=

1

2

x2，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．
则y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|（

1

y1

+

1

y2

）≥2|b|

1 y1y2

=2|b|

1 b2

=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题考查两数和是否为定值的判断与证明，考查代数和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．