Question

已知圆C：x²+y²-4x-8y+16=0，
（1）过点A（-4，2）的直线l被圆C截得弦长为2

2

，求l的方程；
（2）已知A（-4，m），m＞0，P为x轴上的点，Q（x，y）为圆C上的点，若|AP|+|PQ|的最小值为8，求m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设出直线的点斜式方程，化为一般式，求出圆心到直线的距离，再由弦长公式2

r2-d2

，即可求出斜率，即可得到直线方程；
（2）求出A关于x轴的对称点B的坐标，可得|PA|+|PQ|的最小值是|BC|-r，即可求出m．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-4x-8y+16=0，即（x-2）²+（y-4）²=4，
则圆心C（2，4），半径r=2．
设直线l的方程为：x=-4或y-2=k（x+4），
当x=-4，则有圆心到直线的距离大于半径，故不成立；
直线l的一般式：kx-y+2+4k=0，
由弦长公式：2

r2-d2

=2

4-d2

=2

2

，
则d=

2

．
则

|2k-4+2+4k|

1+k2

=

2

，解得k=

6± 19

17

，
则直线l的方程为：（6+

19

）x-17y+58+4

19

=0或
（6-

19

）x-17y+58-4

19

=0；
（2）设A（-4，m）关于x轴的对称点为B（-4，-m），
则|PA|+|PQ|≥|BP|+|PC|-r，即最小值是|BC|-r
=

(2+4)2+(4+m)2

-2=8．
解得m=4．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线和圆相交的弦长公式，点关于直线的对称点，考查学生的计算能力，求出A关于x轴的对称点B的坐标是关键．