Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=4$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PBD⊥平面PAD．
（II）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PA-D的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，BD=8，AB=4$\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²，故AD⊥BD．…（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，…（4分）
又BD?平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAD．…（5分）
解：（II）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2$\sqrt{3}$），B（0，8，0），
$\overrightarrow{PA}=（2，0，-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AB}$=（-4，8，0）．…（7分）
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2x-2\sqrt{3}z=0}\\{-4x+8y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}z}\\{x=2y}\end{array}}\right.$，
令$\sqrt{3}$则$y=\sqrt{3}，z=2$，则$\overrightarrow n=（2\sqrt{3}，\sqrt{3}，2）$．…（9分）
平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，1，0）$，
则$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n||\overrightarrow m|}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{19}}}=\frac{{\sqrt{57}}}{19}$，…（11分）
则二面角B-PA-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{57}}}{19}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．