Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，第二象限的点P（x₀，y₀）满足bx₀+ay₀=0，若|PF₁|：|PF₂|：|F₁F₂|=1：$\sqrt{3}$：2，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可知∠PF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠PF₂F₁=$\frac{π}{6}$，根据直线的斜率公式，求得x₀=-$\frac{c}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，代入bx₀+ay₀=0，求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由|PF₁|：|PF₂|：|F₁F₂|=1：$\sqrt{3}$：2，则PF₁⊥PF₂，
则∠PF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠PF₂F₁=$\frac{π}{6}$，
由${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$=tan∠PF₁F₂=$\sqrt{3}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$=-tan∠PF₂F₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{x}_{0}-c}{{x}_{0}+c}$=-3，解得：x₀=-$\frac{c}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由P（x₀，y₀）满足bx₀+ay₀=0，即b（-$\frac{c}{2}$）+a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=0，整理得：b=$\sqrt{3}$c，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故双曲线C的离心率2，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．