Question

16．设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₃=64，a₂+a₄=72，数列{b_n}的前n向和S_n满足S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$
（1）求数列{a_n}的通项a_n及数列{b_n}的通项b_n
（2）设c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推数列的通项公式可得a_n，利用数列递推关系可得b_n．
（2）利用“裂项求和”方法可得T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，∵a₁a₃=64，a₂+a₄=72，
∴$（{a}_{1}q）^{2}$=64，${a}_{1}q（1+{q}^{2}）$=72，…（1分）
∴q=2，a₁=4
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．…（3分）
当n=1时，b₁=S₁=1        （4分）
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=n．
综上可得：b_n=n．…（6分）
（2）c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．…（8分）
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（12分）

点评 本题考查了数列递推公式、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．