Question

17．已知复数z满足$z+\overline z=6$，|z|=5．
（1）求复数z的虚部；
（2）求复数$\frac{z}{1-i}$的实部．

Answer 1

分析 （1）设复数z=a+bi（a，b∈R），可得$\overline{z}$=a-bi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
（2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．

解答 解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴$\overline{z}$=a-bi，
∴$z+\overline z=2a=6$，∴a=3．
∴$|z|=\sqrt{9+{b^2}}=5$⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．
（2）当b=4时，$\frac{z}{1-i}=\frac{3+4i}{1-i}$=$\frac{{（{3+4i}）（{1+i}）}}{2}=\frac{7i-1}{2}$=$-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i$，其实部为$-\frac{1}{2}$．
当b=-4时，$\frac{z}{1-i}=\frac{3-4i}{1-i}$=$\frac{{（{3-4i}）（{1+i}）}}{2}=\frac{7-i}{2}$=$\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$，其实部为$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．