Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=

17

，求l的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由直线系方程求得直线过定点，再由定点在圆内得结论；
（2）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得m的值，则直线l的倾斜角可求；
（3）设出弦AB的中点坐标，由直角三角形中的边长关系求得弦AB的中点M的轨迹．

解答： （1）证明：由直线l：mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，
由

x-1=0 -y+1=0

，得

x=1 y=1

．
∴直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），代入圆C：x²+（y-1）²=5，
得1²+（1-1）²=1＜5，∴点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5内部，
∴对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x²+（y-1）²=5得：y₁=-1，y₂=3，
此时|AB|=4，不满足题意；
∴直线l的斜率存在，由|AB|=

17

，圆的半径为

5

，
得圆心到直线l：mx-y+1-m=0的距离为

5- 17 4

=

3

2

．
则

|-m|

m2+1

=

3

2

，解得：m=±

3

．
∴直线l为y=

3

x+1-

3

或y=-

3

x+1+

3

．
直线l的倾斜角为60°或120°；
（3）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²，
设M（x，y），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化简得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式；
故弦AB中点的轨迹方程是x²+y²-x-2y+1=0．

点评：本题考查了直线与圆的方程的应用，考查了直线系方程，考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的用法，体现了数学转化思想方法，是中档题．