题目内容

已知函数f(x)=Asin(
π
3
x+ϕ)（A＞0，x∈R，0＜ϕ＜
π
2
）．y=f（x）的部分图象如图所示，点P（1，A）为图象的最高点．
（1）求f（x）的最小正周期及ϕ的值；
（2）若A=
2
，且g（x）=1-f2（x）（x∈R），求当x取什么值（用集合表示）时，函数g（x）有最大值和函数g（x）的单调增区间．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由周期公式可得周期T=
2π
π
3
=6，集合点P（1，A）在曲线上，可得φ的方程，结合φ的范围可得；
（2）由A=
2
得f(x)=
2
sin(
π
3
x+
π
6
)，代入化简可得g（x）的解析式，可得单调区间和最值．
解答： 解：（1）由题意可得f（x）的最小正周期T=
2π
π
3
=6
又点P（1，A）在曲线上，∴A=Asin(
π
3
+ϕ)，即sin(
π
3
+ϕ)=1，
∴
π
3
+ϕ=2kπ+
π
2
，∴ϕ=2kπ+
π
6
，
解得0＜ϕ＜
π
2
，∴ϕ=
π
6

（2）由A=
2
得f(x)=
2
sin(
π
3
x+
π
6
)，
∴g(x)=1-f2(x)=1-2sin2(
π
3
x+
π
6
)=cos(
2π
3
x+
π
3
)
当
2π
3
x+
π
3
=2kπ时，即x=3k-
1
2
，k∈z时，函数g（x）有最大值1．
由2kπ-π≤
2π
3
x+
π
3
≤2kπ得3k-2≤x≤3k-
1
2
，
∴当3k-2≤x≤3k-
1
2
，k∈z时，y=cos(
2π
3
x+
π
3
)单调递增，
∴当x∈{x|x=3k-
1
2
，k∈Z}函数g（x）有最大值．
函数g（x）的单调增区间为[3k-2，3k-
1
2
]
 k∈Z
点评：本题考查由三角函数的图象得其解析式，涉及三角函数的单调性和最值，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c∈R，给出下列命题：
①若a＞b，则ac2＞bc2；
②若ab≠0，则
a
b
+
b
a
≥2；
③若a＞b＞0，n∈N*，则an＞bn；
④若logab＜0（a＞0，a≠1），则a，b中至少有一个大于1．
其中真命题的个数为（　　）
A、2B、3C、4D、1
如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四个顶点为A1，A2，B1，B2，两焦点为F1，F2，若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2，切点分别为A，B，C，D，则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=（　　）
A、
5
+1
2
B、2
5
-2
C、
5
+2
2
D、
5
-1
2
已知圆C圆心坐标为（3，1），且圆C与直线3x+4y+2=0相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数a的值．
在平面直角坐标系上，设不等式组
x＞0
y≥0
y≤-2n(x-3)
（n∈N*）表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为an．
（1）求出a1，a2，a3的值（不要求写过程）；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令bn=
1
anan+1
（n∈N*），求b1+b2+…+bn．
设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使
f(x)+f(y)
2
=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，已知四个函数：
①y=x3（x∈R）；
②y=（
1
2
）x（x∈R）；
③y=lnx（x∈（0，+∞））；
④y=2sinx+1（x∈R），
上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是
 
．
二次函数y=x2-4x+3在区间[1，4]上的值域
 
．
已知向量
a
=（3，1），
b
=（x，-2），
c
=（0，2），若
a
⊥（
b
-
c
），则实数x的值为（　　）
A、
4
3
B、
3
4
C、-
3
4
D、-
4
3
已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=
17
，求l的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网