Question

已知：以点C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
（1）写出圆C的标准方程（含t表示）
（2）求证：△OAB的面积为定值；
（3）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）求出半径，即可写出圆的方程；
（2）令x=0，y=0，解出A、B的坐标，表示出面积即可得出结论；
（3）通过题意解出OC的方程，解出t的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．

解答： （1）解：∵⊙C过原点，OC²=t2+

4

t2

．
∴⊙C的方程是(x-t)2+(y-

2

t

)2=t²+

4

t2

              （2分）
（2）证明：令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

；
令y=0，得x₁=2，x₂=2t，
∴S_△OAB=

1

2

OA•OB=

1

2

•|

4

t

|•|2t|=4，即△OAB的面积为定值．（7分）
（3）解：∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分线段MN．
∵k_MN=-2，∴k_oc=

1

2

，
∴直线OC的方程是y=

1

2

x，
∴

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2，（9分）
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

1

5

＜

5

，
圆C与直线y=-2x+4相交于两点．                                （11分）
当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

9

5

＞

5

，
圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合题意舍去，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．                            （14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，属于中档题．