Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0对任意n∈N^*）成立，令b_n=a_n+1-a_n，且{b_n}是等比数列．
（1）求实数k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

34

21

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：应用题

分析：（1）由已知条件求出数列{a_n}的前四项，由此能求出数列{b_n}，再由{b_n}是等比数列，能求出k．
（2）由（1）知b1=a2-a1 =2，

bn+1

bn

=2，从而得到b_n=2ⁿ，由此利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．（3）由an=2n-1，2ⁿ-1＞2ⁿ-2=2（2^n-1-1），利用放缩法能证明

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

34

21

．

解答： （1）解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0对任意n∈N^*）成立，
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9-k，a₄=27-6k，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b₁=2，b₂=6-k，b₃=18-5k，
∵{b_n}是等比数列，
∴b22=b1•b3，即（6-k）²=2×（18-5k），
解得k=2或k=0（舍），
当k=2时，a_n+2=3a_n+1-2a_n，即a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

bn+1

bn

=2，
∴k=2时满足条件．
（2）解：∵b1=a2-a1 =2，

bn+1

bn

=2，
∴b_n=2ⁿ，
∴a₂-a₁=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1，
∴an-a1=2+22+…+2n-1，
∴a_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1
=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．
∴an=2n-1．
（3）证明：∵an=2n-1，2ⁿ-1＞2ⁿ-2=2（2^n-1-1），
∴

1

an

=

1

2n-1

＜

1

2

×

1

2n-1-1

=

1

2an-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

1

+

1

3

+

1

7

+…+

1

2n -1

＜

1

1

+

1

3

+

1

7

+

1

14

+…+

1

7•2n-3

=

1

1

+

1

3

+

2

7

[1-(

1

2

)n-2]
＜1+

1

3

+

2

7

=

34

21

．
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

34

21

．

点评：本题考查实数值和数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要熟练掌握等比数列的性质，注意放缩法在证明题中的合理运用．