Question

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0．
（Ⅰ）当k=0时，写出方程的所有实数解；
（Ⅱ）求实数k的范围，使得方程恰有8个不同的实数解．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用换元法，将方程转化为关于t的一元二次方程，即可求出方程的所有实数解；
（Ⅱ）根据方程有8个不同的实数解，确定对应的等价条件，即可求出k的取值范围．

解答： 解；（Ⅰ）据题意可令|x²-1|=t（t≥0）①，
则方程化为t²-t+k=0②，
当k=0时，
方程等价为t²-t=0，
解得t=0或t=1，
∴对应x=±1，x=±

2

，x=0，
即方程的所有实数解为0，±1，±

2

．
（Ⅱ）当方程②有两个不等正根时，

△＞0 t1+t2＞0 t1t2＞0

，得0＜k＜

1

4

，
此时方程②有两个根且均小于1大于0，
故相应的满足方程的解有8个，
即原方程的解有8个，
∴0＜k＜

1

4

．

点评：本题主要考查函数方程根的个数的判断和应用，利用换元法是解决本题的关键．