Question

2．如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=$\sqrt{2}$，AB=AD=1，则异面直线AB与CD所成角的正切值为．（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，则直线OE与EM所成的锐角∠OEM就是异面直线AB与CD所成的角，由此能求出异面直线AB与CD所成角的正切值．

解答 解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，
由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角∠OEM就是异面直线AB与CD所成的角，
在△OME中，EM=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，OE=$\frac{1}{2}DC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，
∴OM=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠OEM=$\frac{E{O}^{2}+E{M}^{2}-O{M}^{2}}{2×EO×EM}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
tan∠OEM=$\sqrt{7}$．
∴异面直线AB与CD所成角的正切值为$\sqrt{7}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．