Question

已知直线x+2y-3=0与圆x²+y²+x-6y+m=0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，即可求出m的值．

解答： j解：由题意设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由方程组

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

，
消y得5x²+10x+4m-27=0，
于是根据韦达定理得，x1+x2=-2，x1x2=

4m-27

5

，
y1y2=

1

2

(3-x1)?

1

2

(3-x2)=

1

4

[9-3(x1+x2)+x1x2]=

1

4

[9+6+

4m-27

5

]=

m+12

5

，
∵OP⊥OQ，
∴kOP?kOQ=

y1y2

x1x2

=-1，
故x₁x₂+y₁y₂=0，
从而可得

m+12

5

+

4m-27

5

=0，
解得m=3．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，联立方程组利用根与系数之间的关系建立条件即可，考查学生的计算能力．