Question

若 0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cos（α+

π

4

）=

1

3

，cos（

π

4

-

β

2

）=

3

3

，求cos（2α+β）值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由题意求得 sin（α+

π

4

）=

2 2

3

，sin（

π

4

-

β

2

）=

6

3

．求得cos（α+

β

2

）=cos[（α+

π

4

）-（

π

4

-

β

2

）]的值，从而求得cos（2α+β）=2cos2(α+

β

2

)-1的值．

解答： 解：由题意可得

π

4

＜α+

π

4

＜

π

2

，

π

4

＜

π

4

-

β

2

＜

π

2

，
cos（α+

π

4

）=

1

3

，cos（

π

4

-

β

2

）=

3

3

，
∴sin（α+

π

4

）=

2 2

3

，sin（

π

4

-

β

2

）=

6

3

．
∴cos（α+

β

2

）=cos[（α+

π

4

）-（

π

4

-

β

2

）]=cos（α+

π

4

）cos（

π

4

-

β

2

）+sin（α+

π

4

）sin（

π

4

-

β

2

）
=

1

3

×

3

3

+

2 2

3

×

6

3

=

5 3

9

，
∴cos（2α+β）=2cos2(α+

β

2

)-1=

23

27

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角函数、二倍角公式的应用，属于中档题．