Question

如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3

2

，CF=6，∠CFE=45°．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）在线段CF上求一点G，使锐二面角B-EG-D的余弦值为

1

4

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用平面与平面平行的判定定理证明平面BCF∥平面ADE，从而得到BF∥平面ADE．
（2）利用直线与平面，平面与平面垂直的判定定理证明平面CDEF⊥平面ADE，根据平面与平面垂直的性质定理可知，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，利用平面法向量以及锐二面角B-EG-D的余弦值确定G点的坐标，从而确定点G的位置．

解答： 证明：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中BC∥AD，
AD?平面ADE
BC?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
同理CF∥平面ADE，
又∵BC∩CF=C，
∴平面BCF∥平面ADE，
而BF?平面BCF，
∴BF∥平面ADE．
（Ⅱ）∵CD⊥AD，CD⊥DE
∴∠ADE即为二面角A-CD-F的平面角，
∴∠ADE=60°
又∵AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，
又∵CD?平面CDEF
∴平面CDEF⊥平面ADE，
作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．
连结CE，
在△CEF中由余弦定理
cos∠CFE=

|CF|2+|EF|2-|CE|2

2|CF|•|EF|

，
即

2

2

=

36+18-|CE|2

2•6•3 2

∴CE=3

2

，
易求得，∠ECF=45°，CD=DE=3，OD=1，OE=2．
以O为原点，以平行于DC的直线为x轴，以直线DE为y轴，建立如图空间直角坐标系O-xyz，
则A(0，0，

3

)，B(3，0，

3

)，C（3，-1，0），E（0，2，0），F（3，5，0），
设G（3，t，0），-1≤t≤5，
则

BE

=(-3，2，-

3

)，

BG

=(0，t，-

3

)，
设平面BEG的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则由  

m • BE =0 m • BG =0

，
得

-3x+2y- 3 z=0 ty- 3 z=0

，
取

x=2-t y=3 z= 3 t

，
得

m

=(2-t，3，

3

t)．
平面DEG的一个法向量

n

=(0，0，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

(2-t，3， 3 t)•(0，0，1)

4t2-4t+13

=

3 t

4t2-4t+13

．
为使锐二面角B-EG-D的余弦值为

1

4

，
只需

3 |t|

4t2-4t+13

=

1

4

，
解得t=

1

2

，
此时

CG

CF

=

1

4

．
∴G（3，

1

2

，0）．
即所求的点G为线段CF的靠近C端的四分之一分点．

点评：本题考查直线与平面，平面与平面平行及垂直的判定定理，性质定理．平面法向量．以及二面角等知识的综合应用，属于中档题．