Question

已知幂函数f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论F（x）=af（x）+（a-2）x⁵•f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的性质，幂函数在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数，得幂指数小于0，再由m∈z可求m的值；
（2）由（I）知F（x）=a•x^-4+（a-2）x，分a=0，a=2，a≠0且a≠2三种情况利用定义分别判断函数的奇偶性．

解答： 解：（1）由幂函数f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，
得：m²-2m-3＜0⇒-1＜m＜3，又m∈z，∴m=0或1或2，
m=0时f（x）=x^-3；m=1时f（x）=x^-4，m=2时f（x）=x^-3，
又函数是偶函数，∴f（x）=x^-4．
（2）F（x）=a•x^-4+（a-2）x，
当a=0时，F（x）=-2x，∵F（-x）=-F（x），∴函数是奇函数；
当a=2时，F（x）=

2

x4

，∵F（-x）=F（x），∴函数是偶函数；
当a≠0且a≠2时，F（1）=2a-2，F（-1）=2，
F（1）≠±F（-1），∴函数对?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），F（-x）=F（x）不成立，F（-x）=-F（x）也不成立，
∴函数F（x）是非奇非偶函数．

点评：本题考查了幂函数的性质，考查了函数奇偶性的判定，数列掌握幂函数的性质是解题的关键．