Question

13．己知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，且当x＞0时，f（x）＜2，若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=4-f（-a_n-n（-1）ⁿ）（n∈N^*），则a₂₀₁₆=-1006．

Answer 1

分析 根据抽象函数的关系判断函数的单调性，将函数关系进行转化，利用累加法进行求解即可．

解答 解：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＜2；
∴f（x₂-x₁）＜2；
即f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁），
即f（x₂）＜f（x₁）．
则函数f（x）为单调递减函数，
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）-2，即f（0）=2，
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-2=f（0）=2，
即f（x）+f（-x）=4，
即f（x）=4-f（-x），
则f（a_n+1）=4-f（-a_n-n（-1）ⁿ）=f（a_n+n（-1）ⁿ），
∵函数f（x）是单调函数，
∴a_n+1=a_n+n（-1）ⁿ，即a_n+1-a_n=n（-1）ⁿ，
则a₂-a₁=-1，
 a₃-a₂=2，
a₄-a₃=-3，
…
a₂₀₁₆-a₂₀₁₅=-2015，
则等式两边同时相加得a₂₀₁₆-a₁=-1+2-3+4-5+6+…+2014-2015=-1+（2-3）+…+（2014-2015）=-1-1-…-1=-1008，
即a₂₀₁₆=a₁-1008，
∵a₁=f（0）=2，
∴a₂₀₁₆=a₁-1008=2-1008=-1006，
故答案为：-1006

点评 本题主要考查函数与数列的转化，李雨桐抽象函数的关系结合函数的单调性的定义判断函数单调性是解决本题的关键．注意利用累加法进行求递推数列，综合性较强，难度较大．