Question

4．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-1，2]
• C． [-1，3]
• D． [-1，4]

Answer 1

分析 如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x-1）²+y²-1，由$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$∈[0，2]，即可得出．

解答 解：如图所示，
由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．
可设点M（x，y）
A（0，0），B（2，0）．
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（-x，-y）•（2-x，-y）=-x（2-x）+y²=（x-1）²+y²-1，
由$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$∈[0，2]，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$∈[-1，3]，
故选：C．

点评 本题考查了圆的标准方程、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．