Question

8．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，借助信息技术工具，观察它与抛物线准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

Answer 1

分析 取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系．椭圆、双曲线，同理可得．

解答 解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
圆半径为r，则r=$\frac{1}{2}$AB，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为$\frac{1}{e}$AF，$\frac{1}{e}$BF（e为离心率）
圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即$\frac{1}{2e}$（AF+BF）
∵椭圆0＜e＜1，∴d=$\frac{1}{2e}$（AF+BF）=$\frac{1}{2e}$AB＞$\frac{1}{2}$AB=r，∴相离
双曲线e＞1，可得d＜r，相交．

点评 本题考查直线与抛物线、椭圆、双曲线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线、椭圆、双曲线的定义，考查数形结合思想，属中档题．