Question

3．某理财公司有两种理财产品A和B．这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品A产品B（其中p、q＞0）

投资结果	获利40%	不赔不赚	亏损20%
概  率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

投资结果	获利20%	不赔不赚	亏损10%
概  率	p	$\frac{1}{3}$

（Ⅰ）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于$\frac{3}{5}$，求p的取值范围；
（Ⅱ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，在产品A和产品B之中选其一，应选用哪个？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互独立事件和对立事件的概率计算公式，求出“甲选择产品A且盈利”、
“乙选择产品B且盈利”和“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”的概率值，
列出不等式求出p的取值范围；
（Ⅱ）设丙选择产品A进行投资，记X为获利金额，写出X的分布列，计算数学期望；
设丙选择产品B进行投资，记Y为获利金额，写出Y的分布列，计算数学期望；
讨论p的取值，得出E（X）与E（Y）的大小关系即可．

解答 解：（Ⅰ）记事件A为“甲选择产品A且盈利”，
事件B为“乙选择产品B且盈利”，
事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则$P（\overline A）=\frac{2}{3}，P（\overline B）=1-p$，
所以$P（C）=1-P（\overline A\overline B）=1-\frac{2}{3}（1-p）=\frac{1}{3}+\frac{2p}{3}＞\frac{3}{5}$，所以$p＞\frac{2}{5}$；…4分
又因为$p+\frac{1}{3}+q=1，q＞0$，
所以$0＜p＜\frac{2}{3}$；
所以$\frac{2}{5}＜p＜\frac{2}{3}$；…6分
（Ⅱ）假设丙选择产品A进行投资，且记X为获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：

X	4	0	-2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

则$E（X）=4×\frac{1}{3}+0×\frac{1}{2}+（-2）×\frac{1}{6}=1$．…8分
假设丙选择产品B进行投资，且记Y为获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：

Y	2	0	-1
P	p	$\frac{1}{3}$	q

则$E（Y）=2×p+0×\frac{1}{3}+（-1）×q=2p-q=2p-（\frac{2}{3}-p）=3p-\frac{2}{3}（0＜p＜\frac{2}{3}）$；…10分
当$p=\frac{5}{9}$时，E（X）=E（Y），选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；
当$0＜p＜\frac{5}{9}$时，E（X）＞E（Y），选择产品A一年后投资收益的数学期望大，应选产品A；
当$\frac{5}{9}＜p＜\frac{2}{3}$时，E（X）＜E（Y），选择产品B一年后投资收益的数学期望大，应选产品B．…12分．

点评 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，是中等题．