Question

14．如图1，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如图2，设点E是线段DB上的一动点（不与D，B重合）．

（Ⅰ）当AB=2时，求三棱锥M-BCD的体积；
（Ⅱ）求证：AE不可能与BM垂直．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AM的中点N，连接DN．由已知结合面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCM．求出DN，然后利用等积法求得三棱锥M-BCD的体积；
（Ⅱ）假设AE⊥BM，结合（Ⅰ）利用反证法证明．

解答 （Ⅰ）解：取AM的中点N，连接DN．
∵AB=2AD，∴DM=AD，又N为AM的中点，
∴DN⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，又平面ADM∩ABCM=AM，DN?平面ADM，
∴DN⊥平面ABCM．
∵AB=2，∴AD=1，AM=$\sqrt{2}$，则$DN=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又${S_{△BCM}}=\frac{1}{2}•CM•CB=\frac{1}{2}$，
∴V_M-BCD=V_D-BCM=$\frac{1}{3}{S}_{△BCM}•DN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}$；
（Ⅱ）证明：假设AE⊥BM．
由（Ⅰ）可知，DN⊥平面ABCM，∴BM⊥DN．
在长方形ABCD中，AB=2AD，
∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形，∴BM⊥AM．
而DN、AM?平面ADM，DN∩AM=N，
∴BM⊥平面ADM．
而AD?平面ADM，
∴BM⊥AD．
由假设AE⊥BM，AD、AE?平面ABD，AD∩AE=A，
∴BM⊥平面ABD，
而AB?平面ABD，∴BM⊥AB，
这与已知ABCD是长方形矛盾，
故AE不可能与BM垂直．

点评 本题考查直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，训练了一种证明几何问题的方法-反证法，属中档题．