Question

11．已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2
（I）求函数f（x）的解析式并讨论单调性
（II）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

分析 （I）由奇函数的定义利用待定系数法求得d，再由x=1时f（x）取得极值-2．解得a，c从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值．
（II）由（I）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是减函数，从而确定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，证明即可．

解答 解：（I）∵f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx…（2分）
f'（x）=3ax²+c，
当x=1时f（x）取得极值-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+c=0}\\{f（1）=a+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故所求解析式为f（x）=x³-3x．
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（-∞，-1）上是增函数，
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）单调递增区间（-∞，-1），（1，+∞）单调递减区间（-1，1）；
（II）证明：由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是减函数，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，对任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4，
∴不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

点评 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，属于中档题．