Question

15．若数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，b_n+1=-a_n，a_n+1=3a_n+2b_n，n∈N^*．则a₂₀₁₇-a₂₀₁₆=2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，b_n+1=-a_n，a_n+1=3a_n+2b_n，n∈N^*．可得a_n+1=3a_n-2a_n-1．变形为：a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，b_n+1=-a_n，a_n+1=3a_n+2b_n，n∈N^*．
∴a_n+1=3a_n-2a_n-1．
变形为：a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
又a₂=3a₁+2a₁=5．
∴数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项为4，公比为2．
则a₂₀₁₇-a₂₀₁₆=4×2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁷．
故答案为：2²⁰¹⁷．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．