Question

8．边长为4的正三角形ABC中，点D在边AB上，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$，M是BC的中点，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CD}$=（　　）

• A． 16
• B． $12\sqrt{3}$
• C． $-8\sqrt{3}$
• D． -8

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{CD}$，再进行计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，
∵M是BC的中点，∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{6}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∵三角形ABC是边长为4的正三角形，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}$=16，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4×4×cos60°=8，
∴$\frac{1}{6}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{8}{3}-\frac{8}{3}-8$=-8，
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．