Question

18．过动点P作圆：（x-3）²+（y-4）²=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x-3）²+（y-4）²=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|²=|PQ|²+|NQ|²=|PQ|²+1，结合题意可得|PN|²=|PO|²+1，代入点的坐标可得（m-3）²+（n-4）²=m²+n²+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x-3）²+（y-4）²=1的圆心为N，则N（3，4）
PQ为圆（x-3）²+（y-4）²=1的切线，则有|PN|²=|PQ|²+|NQ|²=|PQ|²+1，
又由|PQ|=|PO|，
则有|PN|²=|PO|²+1，
即（m-3）²+（n-4）²=m²+n²+1，
变形可得：6m+8n=24，
即P在直线6x+8y=24上，
则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，
且d=$\frac{|6×0+8×0-24|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$；
即|PQ|的最小值是$\frac{12}{5}$；
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，关键是求出点P的轨迹．