Question

6．在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，AB=CC₁=2．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若点E在棱CC₁上（不包含端点C，C₁），且EA⊥EB₁，求直线AE和平面ABC₁所成角正弦值的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求解三角形可得BC₁⊥BC，再由AB⊥侧面BB₁C₁C，得BC₁⊥AB，最后由线面垂直的判定可得C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）连接BE，由题意可得EB₁⊥AB，EA⊥EB₁，则EB₁⊥面ABE，得EB₁⊥EB，求解三角形可得CE=C₁E=1．过E做BC₁的垂线交BC₁于F，则EF⊥平面ABC₁，连接AF，则∠EAF为所求直线AE和平面ABC₁所成角．然后求解三角形得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC=1，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，CC₁=2，
∴BC₁═$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{3}$，则$B{C}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}=C{{C}_{1}}^{2}$，
∴BC₁⊥BC，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?平面 BB₁C₁C，∴BC₁⊥AB，
又BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：连接BE，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，EB₁?平面BB₁C₁C，∴EB₁⊥AB．
∵EA⊥EB₁，且AB∩EA=A，
∴EB₁⊥面ABE，则EB₁⊥EB，
∴在平行四边形BB₁C₁C中，
设CE=x，则C₁E=2-x，可得$B{E}^{2}=1+{x}^{2}-2x×\frac{1}{2}$，
${B}_{1}{E}^{2}=1+（2-x）^{2}-2x×（-\frac{1}{2}）$，
由$B{E}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}=B{{B}_{1}}^{2}$，解得x=1．
即CE=C₁E=1．
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，AB?平面ABC₁，得平面BCC₁B₁⊥平面ABC₁，
过E做BC₁的垂线交BC₁于F，则EF⊥平面ABC₁，
连接AF，则∠EAF为所求直线AE和平面ABC₁所成角．
∵BC⊥BC₁，EF⊥BC₁，∴BC∥EF，
又E为C₁C的中点，得F为C₁B的中点．
∴EF=$\frac{1}{2}$，
由BE=$\frac{1}{2}C{C}_{1}=1$，AB=2，知$AE=\sqrt{5}$，
∴sin∠EAF=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查线面角的求法，正确找出线面角是关键，是中档题．