Question

6．已知函数f（x）=|2x-3|-|x+1|．
（1）若不等式f（x）≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；
（2）若存在x₀∈R，使得2f（x₀）≤-t²+4|t|成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的函数的最小值，求出f（x）的最小值，求出a的范围即可；
（2）求出f（x）的最小值，问题转化为-t²+4|t|+5≥0，求出t的范围即可．

解答 解：（1）x≥$\frac{3}{2}$时，f（x）=2x-3-x-1=x-4，
此时，f（x）的最小值是f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
-1≤x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）=3-2x-x-1=-3x+2，
此时，f（x）的最小值是f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
x≤-1时，f（x）=3-2x+x+1=-x+4，
此时，f（x）的最小值是f（-1）=5，
综上，f（x）的最小值是-$\frac{5}{2}$，
若不等式f（x）≤a的解集是空集，
则a＜-$\frac{5}{2}$；
（2）若存在x₀∈R，使得2f（x₀）≤-t²+4|t|成立，
只需求出f（x）的最小值，由（1）f（x）的最小值是-$\frac{5}{2}$，
问题转化为-t²+4|t|+5≥0，
即t²-4|t|-5≤0，即（|t|-5）（|t|+1）≤0，
解得：-5≤t≤5．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．