Question

4．已知圆C经过（2，4）、（1，3），圆心C在直线x-y+1=0上，过点A（0，1），且斜率为k的直线l交圆相交于M、N两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）（i）请问$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是否为定值．若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
（ii）若O为坐标原点，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由已知列关于a，b，r的方程组求解方程组可得a，b，r的值，则圆C的方程可求；
（Ⅱ）（i）直接利用切割线定理求得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的值；
（ii）依题意可知，直线l的方程为y=kx+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把y=kx+1代入（x-2）²+（y-3）²=1并整理，利用根与系数的关系求出A，B的横坐标的和与积，代入$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$求得k值，从而求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
则依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^2}+{（4-b）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（3-b）^2}={r^2}\\ a-b+1=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\\ r=1\end{array}\right.$．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-3）²=1；
（Ⅱ）（i）$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$为定值．
过点A（0，1）作直线AT与圆C相切，切点为T，则AT²=7，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{AN}|cos0°=A{T^2}=7$，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$为定值，且定值为7；
（ii）依题意可知，直线l的方程为y=kx+1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=kx+1代入（x-2）²+（y-3）²=1并整理得：（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4（1+{k^2}）}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}+{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}+8=12$，
即$\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}=4$，解得k=1，
又当k=1时△＞0，∴k=1，
∴直线l的方程为y=x+1．

点评 本题考查利用待定系数法求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．