Question

3．已知函数$f（x）=\frac{2x}{x+1}$
（1）用定义证明：f（x）在[0，1]上是增函数
（2）若2＜x＜6时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将函数f（x）的解析式变形为f（x）=2-$\frac{2}{x+1}$，由作差法设0≤x₁＜x₂≤1，分析f（x₁）-f（x₂）的符号即可得证明；
（2）根据题意，分析易得f（x）在（2，6）上为增函数，即可得f（2）＜f（x）＜f（6），计算即可得答案．

解答 解：（1）证明：根据题意，$f（x）=\frac{2x}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
设0≤x₁＜x₂≤1，
则有f（x₁）-f（x₂）=（2-$\frac{2}{{x}_{1}+1}$）-（2-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$）=$\frac{2}{{x}_{2}+1}$-$\frac{2}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
又由0≤x₁≤x₂≤1，
则有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
故函数f（x）在[0，1]上是增函数；
（2）根据题意，$f（x）=\frac{2x}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
分析易得在（2，6）上，函数f（x）为增函数，
则f（2）＜f（x）＜f（6），
则函数f（x）的值域为（$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{7}$）．

点评 本题考查函数的单调性的判定及应用，关键是分析函数f（x）的单调性．