题目内容
下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（ ）
| A、f（x）=cosx |
| B、f（x）=ex |
| C、f（x）=x3 |
| D、f（x）=lnx |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：综合题,导数的综合应用
分析：设出切点坐标，利用曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率，将存在无数对互相垂直的切线转化为f′（x1）•f′（x2）=-1有无数对x1，x2使之成立；对四个选项的函数判断是否符合．
解答：
解：设切点的横坐标为x1，x2，则存在无数对互相垂直的切线，即f′（x1）•f′（x2）=-1有无数对x1，x2使之成立．
因为y=cosx的导数为y′=-sinx∈[-1，1]，所以f′（x1）•f′（x2）=sinx1•sinx2，当x1=2kπ+
，x2=（2k+1）π+
，k∈Z，f′（x1）•f′（x2）=-1恒成立，正确；
由f′（x）=ex＞0，所以不存在f′（x1）•f′（x2）=-1成立，B不正确；
由于f′（x）=3x2＞0，所以也不存在f′（x1）•f′（x2）=-1成立，C不正确；
由于f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=
＞0，D不正确．
故选：A．
因为y=cosx的导数为y′=-sinx∈[-1，1]，所以f′（x1）•f′（x2）=sinx1•sinx2，当x1=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
由f′（x）=ex＞0，所以不存在f′（x1）•f′（x2）=-1成立，B不正确；
由于f′（x）=3x2＞0，所以也不存在f′（x1）•f′（x2）=-1成立，C不正确；
由于f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=
| 1 |
| x |
故选：A．
点评：本题考查导数的几何意义、导函数的值域与切线的斜率的关系，考查计算能力．
练习册系列答案
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已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ）和（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N（90，152），则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有（ ）
| A、997人 | B、972人 |
| C、954人 | D、683人 |
下列命题中的真命题是（ ）
| A、互余的两个角不相等 |
| B、相等的两个角是同位角 |
| C、若a2=b2，则|a|=|b| |
| D、三角形的一个外角等于和它不相等的一个内角 |
一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
| A、40 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知f1（x）=sinx-cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2014（x）=（ ）
| A、sinx+cosx |
| B、sinx-cosx |
| C、-sinx+cosx |
| D、-sinx-cosx |
已知tan（α-π）=
，且α∈(
，
)，则sin（α+
）=（ ）
| 3 |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
已知函数f（x）=cosx，数列{an}中，an=
f[
]，数列{bn}中，bn=
f(
)，n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
| π |
| 2n |
| n |
 |
| i=1 |
| (i-1)π |
| 2n |
| π |
| 2n |
| n |
|
| i=1 |
| iπ |
| 2n |
| A、{an}是递增数列且an＞1，{bn}是递减数列且bn＞1 |
| B、{an}是递增数列且an＜1，{bn}是递增数列且bn＞1 |
| C、{an}是递增数列且an＜1，{bn}是递减数列且bn＜1 |
| D、{an}是递减数列且an＞1，{bn}是递增数列且bn＜1 |