Question

已知f₁（x）=sinx-cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，则f₂₀₁₄（x）=（　　）

• A、sinx+cosx
• B、sinx-cosx
• C、-sinx+cosx
• D、-sinx-cosx

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，计算f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），归纳、猜想，得出f_n（x）是周期为4的函数，计算f₂₀₁₄（x）=f₂（x）即可．

解答： 解：f₁（x）=sinx-cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx+sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx+cosx，
f₄（x）=f3′（x）=-cosx-sinx，
f₅（x）=f4′（x）=sinx-cosx，
…，
∴f_n（x）是周期为4的函数，
∴f₂₀₁₄（x）=f₂（x）=sinx+cosx．
故选：A．

点评：本题考查了函数的应用问题，解题时应根据题意，计算出函数的前几项，通过归纳、猜想，得出规律，是基础题．