Question

已知函数f（x）=cosx，数列{a_n}中，a_n=

π

2n

n

i=1

f[

(i-1)π

2n

]，数列{b_n}中，b_n=

π

2n

n

i=1

f(

iπ

2n

)，n∈N^*，则下列说法正确的是（　　）

• A、{a_n}是递增数列且a_n＞1，{b_n}是递减数列且b_n＞1
• B、{a_n}是递增数列且a_n＜1，{b_n}是递增数列且b_n＞1
• C、{a_n}是递增数列且a_n＜1，{b_n}是递减数列且b_n＜1
• D、{a_n}是递减数列且a_n＞1，{b_n}是递增数列且b_n＜1

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据题意，得通项公式a_n、b_n，求出a₁、a₂的值，验证{a_n}是递减的数列，且a_n＞1，求出b₁、b₂的值，验证{b_n}是递增数列，且b_n＜1，得出正确的答案．

解答： 解：根据题意，得
a_n=

π

2n

（cos0+cos

1

2n

π+cos

2

2n

π+cos

3

2n

π+..+cos

n-1

2n

π），n∈N^*；
∴a₁=

π

2

cos0=

π

2

＞1，a₂=

π

4

（cos0+cos

1

4

π）=

π

4

×

2+ 2

2

＜

π

4

×2=

π

2

=a₁，
∴{a_n}是递减的数列，且a_n＞1；
b_n=

π

2n

（cos

π

2n

+cos

2

2n

π+cos

3

2n

π+cos

4

2n

π+…+cos

n

2n

π），n∈N^*；
∴b₁=

π

2

cos

π

2

=0，b₂=

π

4

（cos

π

4

+cos

2π

4

）=

π

4

×

2

2

=

2 π

8

，
∴b₁＜b₂＜1，∴{b_n}是递增数列；
故选：D．

点评：本题考查了数列的通项公式的应用问题，解题时应根据通项公式，求出数列对应的项，从而判定结论是否正确，是较难的题目．