Question

一束光线l自A（1，0）发出，射到直线m：x+y+1=0上，被直线m反射到圆x²+y²-6x-2y+9=0上的点B．
（1）当反射线通过圆心C时，求入射光线l的方程；
（2）求光线由A到达B的最短路径的长．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由题意，利用物理的光学知识可知入射光线上的任意一点关于直线m对称的点必在其反射线上，由于反射线过圆心，有光线的可逆性知，反射线上的圆心关于直线m对称的点也必在入射光线上，然后由入射光线上已知两点写出所求的直线方程；
（2）设A关于直线m的对称点为A'，求出对称点，由对称性可知，所求光线传播到圆的路径长，要使得其最小，则A'B过圆心C时满足条件，根据两点间的距离公式可求．

解答： 解：（1）⊙C：（x-3）²+（y-1）²=1，C（3，1），r=1．
设C关于直线m：x+y+1=0的对称点C′（m，n），
即有

n-1 m-3 =1 m+3 2 + n+1 2 +1=0

，解得，

m=-2 n=-4

．
则C'（-2，-4），
即有过A，C′的方程：4x-3y-4=0即为光线l的方程．
（2）光线由A到达B的路程，要想最短，则反射光线必经过圆心，
设A关于直线m：x+y+1=0的对称点A′（a，b），
则

b a-1 =1 a+1 2 + b 2 +1=0

，解得，

a=-1 b=-2

，
可得A'（-1，-2），则连接A'C，交圆于B，A'B即为最短路程．
|A'B|=|A'C|-r=

(3+1)2+(1+2)2

-1=5-1=4．
故光线由A到达B的最短路径的长为4．

点评：本题考查点关于直线的对称，考查直线方程的求法，以及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．